Definition - Multinomialverteilung

• Typen:
  • Binomialverteilung (für )
  • Bernoulli-Kette (für )
• Beispiele:
  • Multinomialexperiment
• Generalisierungen:
  • Diskrete Verteilung
  • Verteilung eines diskreten Zufallsvektors
  • Urnenexperiment U3 (Reihenfolge irrelevant; mit Zurücklegen)
  • Produktexperiment
  • Exponentialfamilie
• Involvierte Definitionen:
  • Verteilung eines diskreten Zufallsvektors
  • Zufallsvektor
  • Mengenschreibweise bei Zufallsvariablen
  • Multinomialkoeffizient
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Multinomialverteilung

Sei die Anzahl möglicher Ergebnisse.
Sei die Anzahl der unterschiedlichen Treffer-Arten (bspw. rot, grün, blau, lila).
Seien die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Treffer der -ten Art zu erhalten.

Für gelte insbesondere und .

Wir bezeichnen den Zufallsvektor als multinomialverteilt , wenn

• geben an, wie häufig die jeweilige Treffer-Art gezogen wurde,
• gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Treffer-Arten genau jeweils -mal gezogen wurden.

Anmerkung

Verteilung der

Für die gilt:

Die Multinomialverteilung ergibt sich also aus der Binomialverteilung indem man statt dem jeweiligen “Gegenpol” die Werte der anderen Zufallsvariablen iteriert einsetzt. Was ich mit Gegenpol meine hebe ich gleich farbig hervor:

Herleitung

Sei der Grundraum. Wir interpretieren als Treffer -ter Art im -ten Versuch.

Die Verteilung leiten wir nun wieder anhand zweier Größen her:

1. Wir möchten wissen, was die Wahrscheinlichkeit für ein festes (mit Häufigkeit der Treffer-Arten ) ist.
2. Wir möchten wissen, wie viele Möglichkeiten/Pfade es gibt, die “umzuordnen”, denn: Wir könnten ja bspw. in einem Fall schon ganz am Anfang bspw. fünfmal einen Treffer -ter Art erzielen - in einem anderen Fall aber eben auch erst ganz am Ende usw.

Multiplizieren wir wiederum beide Größen miteinander, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die jeweiligen Treffer-Arten genau jeweils -mal gezogen wurden.

Herleitung der 1. Größe

Nochmal kurz wiederholt: wir möchten wissen, was die Wahrscheinlichkeit für ein festes ist.

Verallgemeinernd können wir als den Grundraum eines n-stufigen unabhängigen stochastischen Vorgangs deuten.

Die Wahrscheinlichkeit für würden wir dann anhand der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion dieses n-stufigen Vorgangs berechnen.

Um zu ermitteln, müssen wir zunächst die Grundräume der bis Stufen - und anschließend ihre Übergangswahrscheinlichkeiten . Dann ergibt sich einfach aus dem Produkt der Übergangswahrscheinlichkeiten.

Weshalb das Dach über den ?

Als haben wir ja schon die Wahrscheinlichkeiten der Treffer-Arten bezeichnet - und ich hatte vorhin etwas mit Schätzern gemacht, da kommt die Notation häufiger vor… 🤷

Wir beginnen also mit den Grundräumen der Stufen. Wir hatten bereits gesagt, dass . Für die Grundräume der Stufen bis bieten sich relativ klar die Grundräume an. Damit gilt:

Jetzt bestimmen wir die Übergangswahrscheinlichkeiten der Stufen, also . Da wir an dem Grundraum und auch an den Wahrscheinlichkeiten der Treffer-Arten (von einer Stufe zur nächsten Stufe n) nichts ändern, sind auch alle Übergangswahrscheinlichkeiten gleich (wie schon bei den Grundräumen ).

Der einzige Anhaltspunkt, den wir zur Bestimmung haben, sind die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Treffer-Arten. Wir werden sie jetzt dazu nutzen, eindeutig festzulegen.

Wir haben jetzt ein paar Möglichkeiten, dasselbe auszudrücken. Ich wähle hier die Möglichkeit der Fallunterscheidung. Eine Indikatorsumme wäre aber genauso gut gewesen:

Die Übergangswahrscheinlichkeit nimmt also genau die Wahrscheinlichkeit der Treffer-Art an, der entspricht.

Wir zeigen noch kurz, dass normiert (und damit wirklich einWMF]]) ist. Es gilt:

Die letzte Gleichheit entspringt direkt der Voraussetzung an die Wahrscheinlichkeiten der Treffer-Arten.

Nun, da wir sowohl die Grundräume als auch die Übergangswahrscheinlichkeiten bestimmt haben, können wir auch diWMF]] des gesamten n-stufigen unabhängigen stochastischen Vorgangs bestimmt. Es gilt:

Da wir wissen, dass genau -mal Treffer-Art , -mal Treffer-Art usw. enthält, können wir auch als Produkt von Wahrscheinlichkeiten wie folgt schreiben:

Und das ist jetzt auch, was wir wissen, wollten, nämlich: die Wahrscheinlichkeit für ein festes - die entspricht .

Herleitung der 2. Größe

Jetzt wollen wir noch herausfinden, wie viele Anordnungsmöglichkeiten es für die gibt, sodass wir dennoch auf die Treffer-Anzahlen kommen.

Das entspricht genau der Interpretation 2 des Multinomialkoeffizienten. Dafür gibt es also:

Möglichkeiten.

Zusammenführung

Die Multinomialverteilung erhalten wir nun durch Multiplikation der zwei vorhin hergeleiteten Größen. Es gilt:

was zu zeigen war.