Definition - Multinomialkoeffizient

• Typen:
  • Binomialkoeffizient
• Konstrukte:
  • Multinomialsatz
  • Multinomialverteilung
• Involvierte Definitionen:
  • Fakultät
• Veranstaltung: AlMa, EiS
• Referenz:
  • } AlgoMathe KE1 - Binomialkoeffizient
  • @henze2019
  • @deiser2022

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Definition: Multinomialkoeffizient

Sei eine -elementige Menge.
Seien .
Seien die jeweiligen Mächtigkeiten.
Sei

Wir definieren den Multinomialkoeffizienten wie folgt:

Anmerkung

Interpretation 1

Der Multinomialkoeffizient ist eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten.

Er beantwortet die Frage, wie viele -Tupel sich bilden lassen.

Heißt: er ist immer dann hilfreich, wenn

• wir ohne Zurücklegen,
• ohne Reihenfolge,
• und mit unterschiedlichen Element-Typen (bspw. grüne, rote, und gelbe Bälle) ziehen müssen.

Haben wir bspw. nur grüne und rote Bälle, sind Multinomial- und Binomialkoeffizient identisch.

Interpretation 2

Der Multinomialkoeffizient ist eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten.

Er beantwortet die Frage, wie viele -Tupel mit sich bilden lassen, die genau -mal den Eintrag , -mal den Eintrag , …, -mal den Eintrag besitzen.

Schreibweise durch Produkte

Ähnlich wie den Binomialkoeffizienten können wir auch den Multinomialkoeffizienten als Bruch von Produkten schreiben:

Wobei und die Gesamtgröße der Menge ist.

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Standarddefinition. Sie sind identisch, wenn .

Herleitung

Sei eine -elementige Menge.
Seien .
Seien die jeweiligen Mächtigkeiten.

Der Multinomialkoeffizient beantwortet die Frage, wie viele -Tupel sich bilden lassen.

• Für die erste Stelle des Tupels gibt es Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle: .
• Für die dritte Stelle: .
• Und so weiter.

Insgesamt erhalten wir also: