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Definition: Fakultät
Folgenden Ausdruck bezeichnen wir als Fakultät von
(auch -Faktorielle)
Leeres Produkt
Dem leeren Produkt wird in der Regel der Wert
zugewiesen. Es folgt:
Anmerkung
TIP
Die Fakultät zählt die Anzahl der möglichen bijektiven Rechenvorschriften einer Abbildung.
Abschätzung von Fakultäten
Fakultäten wachsen sehr schnell und ab einem gewissen Level ist die Berechenbarkeit… nun, schwierig.
Daher betrachten wir jetzt unterschiedliche Arten, Fakultäten abzuschätzen.
HINT
Fakultäten abschätzen zu können wird uns ermöglichen, auch Binomialkoeffizienten abzuschätzen
Die extrem grobe Abschätzung
Grobe Abschätzungen finden wir immer recht leicht.
Beispielsweise ist
Die Annäherung (mit Gauß)
Wenn wir uns (sehr viel) Mühe geben, können wir zeigen, dass
TLDR
immer größer-gleich als und immer kleiner-gleich
ist. Hierzu wandeln wir auf den Pfaden des berühmten Gangsterbosses Carl-Friedrich Luigi Gaußiano.
Beweis
Die untere Schranke
Die untere Schranke zu zeigen ist recht einfach zu beweisen. Wir brauchen dafür aber trotzdem folgenden Hilfssatz:
Lemma: Wir können Fakultäten so und so schreiben
Entweder
(hier kommen wir von vorne:
(hier kommen wir von hinten:
Und wir können sogar schreiben:
(Das folgt aus den ersten beiden Termen)
Gaußianos Beweis
Wir können nun also schreiben:
und das ist offensichtlich größer als
Die obere Schranke
Für die obere Schranke brauchen wir sogar zwei Lemmata. Einmal das von der unteren Schranke und dann noch das folgende:
Lemma: Geometrischesist kleiner als Arithmetisches-Mittel
Der Titel verrät es schon, aber wir schreiben es noch einmal aus. Wir wollen zeigen, dass:
Gaußianos Beweis
Gaußiano hat also diese Idee. Er möchte
Er schnappt sich also den Term und schaut, wie er ihn umstellen kann. Das lässt sich ja auch als simples Produkt schreiben:
Und im Grunde kann man da ja hinzufügen was man möchte, solange man es wieder abzieht:
Gaußiano ist extrem clever, daher erkennt er nach 15 Minuten intensiven Grübelns:
Und das: das ist klasse. Wir können da nämlich die
HINT
Der nächste Schritt folgt aus dem Lemma:
Womit die obere Schranke bewiesen ist.
Die genauere Schätzung (mit Euler)
TLDR
immer größer-gleich als und immer kleiner-gleich
Den Beweis möchte ich an dieser Stelle nicht noch einmal duplizieren, da sich aus ihm nicht sonderlich viel lernen lässt.
Was aber wichtig ist, ist das folgende Lemma:
Important
Lemma: