Theorem - Multinomialsatz

• Typen:
  • Binomischer Lehrsatz
• Involvierte Definitionen:
  • Multinomialkoeffizient
• Veranstaltung:
  • AlMa, EiS
• Referenz:
  • } AlgoMathe KE1 - Binomialkoeffizient
  • @henze2019

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Theorem: Multinomialsatz

In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt das sogenannte Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz).

Für alle und alle gilt:

Anmerkung

Eine gute Erklärung findet sich: hier

Interpretation

Was passiert hier also:

• Die Summe iteriert über alle Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen so zu kombinieren, dass ihre Summe beträgt.
  • Beispielsweise für
• Dann wird ein solches Produkt gebildet
• Schließlich wird bestimmt, wie häufig dieses Produkt auftritt. Das übernimmt der Multinomialkoeffizient. Schließlich gibt es manchmal nicht nur eine Möglichkeit, dieses Produkt zu bilden.
  • In unserem Beispiel gibt es genau zwei Möglichkeiten und zwar: und .

Was wir hier durchgespielt haben ist identisch zu dem Binomialkoeffizienten gewesen und daher vermutlich verhältnismäßig leicht zu verstehen.

Beweis

Wir führen hier einen “begrifflichen” Beweis nach @henze2019.

Zunächst schreiben wir als Produkt von Klammern:

Nach den Distributivgesetzen müssten wir nun für jede Klammer eines der auswählen und von dieser Auswahl das Produkt bilden. Anschließend müssten wir alle dieser möglichen Produkt-Kombinationen miteinander addieren. (Kombinatorisch gibt es hier übrigens insgesamt mögliche Produkt-Kombinationen.)

Betrachten wir zunächst einmal nur eine einzige Produkt-Kombination.

Mit den Parametern soll im Folgenden beschrieben werden, wie häufig jedes für das gerade betrachtete Produkt ausgewählt wird.

Wählen wir beispielsweise aus jeder der Klammern das Element , so wäre .

Wir können das Produkt daher auch darstellen als:

Angenommen, und . Dann gilt und das Produkt

ist (unter den Gesichtspunkten der vorangegangenen Diskussion) valide. Es gibt nun aber viele unterschiedliche “Pfade”, die zu diesem Produkt führen. Beispielsweise könnten wir das aus der ersten Klammer wählen und die aus den verbleibenden Klammern. Oder wir wählen das aus der zweiten Klammer und die aus den verbleibenden Klammern und so weiter.

Insgesamt gibt es Kombinationsmöglichkeiten. Mit dem Multinomialkoeffizienten gilt:

In Verallgemeinerung für das Produkt gilt, dass es insgesamt:

Kombinationsmöglichkeiten gibt.

Das Ergebnis von erhalten wir also, indem wir alle validen Produkte mit der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten des jeweiligen Produktes multiplizieren und die Produkte übergreifend aufsummieren. Valide ist ein Produkt, wenn . Mathematisch erhalten wir:

was zu zeigen war.