Theorem - Varianz der Poisson-Verteilung

• Involvierte Definitionen:
  • Varianz
  • Poisson-Verteilung
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Theorem: Varianz der Poisson-Verteilung

Sei eine Poisson-verteilte Zufallsvariable.

Dann gilt für die Varianz von :

Beweis

Wir werden die Varianz hier mit einem kleinen Rechentrick beweisen.

Zunächst gilt:

(und damit auch ) kennen wir bereits durch das Theorem über den Erwartungswert der Poisson-Verteilung:

Es bleibt also noch zu bestimmen. Es gilt:

Wobei der vorletzte Schritt mit dem Grenzwert der Exponentialreihe folgt.

Mit Gleichungen , , sowie dem Theorem über den Erwartungswert der Poisson-Verteilung gilt:

was zu zeigen war.