Proposition - Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung für kleine Stichproben oder große Grundmengen

• Involvierte Definitionen:
  • Binomialverteilung
  • Hypergeometrische Verteilung
  • Approximation von Verteilungen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung für kleine Stichproben oder große Grundmengen

Seien die ersten Kugeln in einer Urne rot.
Seien die verbleibenden Kugeln schwarz.
Es werde mal gezogen (Reihenfolge irrelevant; ohne Zurücklegen).

Ist , so können wir die hypergeometrische durch die Binomialverteilung annähern.

Für zwei Zufallsvariablen und gilt also:

Anmerkung

Anwendbarkeit der Approximation

Eine einfache Faustregel ist:

Die Approximation ist anwendbar, falls .

Approximationsfehler

Für den Approximationsfehler kenne ich noch keine gängige Formel/Abschätzung.

Beweis

Seien also , .

Dann gilt:

Es ist zu zeigen, dass

für

Nach der Herleitung der hypergeometrischen Verteilung nach Henze gilt:

Nach Definition der fallenden Faktoriellen erhalten wir also:

Mit Gleichung ist also zu zeigen, dass

für .

In diesem Fall gilt:

was zu zeigen war.