Proposition - Vereinigung von Sigma-Algebren ist keine Sigma-Algebra

• Involvierte Definitionen:
  • Vereinigung von Mengen
  • Sigma-Algebra
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: Eigener Inhalt

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Proposition: Vereinigung von Sigma-Algebren ist keine Sigma-Algebra

Sei eine Grundmenge.
Seien abzählbar viele -Algebren.

Dann gilt:
ist (i.A.) keine -Algebra.

Anmerkung

Wann es sich doch um eine -Algebra handelt

Ist bspw. (oder entsprechend umgekehrt), so ist doch eine -Algebra.

Dieses Ergebnis ist (in der Regel) aber uninteressant, denn dann ist ja einfach:

Beweis

Sei .

Seien

• zwei Mengensysteme. Bei handelt es sich um -Algebren, denn:

• die leere Menge ist enthalten,

• das Komplement eines jeden Elements ist enthalten,

• die Vereinigung abzählbar vieler Mengen aus der -Algebra selbst ist enthalten.

Bei hingegen handelt es sich hingegen nicht um eine -Algebra.

Während die Komplemente zwar enthalten sind, fehlt die Vereinigung .

Im Allgemeinen ist also keine -Algebra, was zu zeigen war.