Definition - Bedingter Erwartungswert auf einer Sigma-Algebra

• Typen:
  • Bedingter Erwartungswert auf einer reellen Zufallsvariablen
• Generalisierungen:
  • Reelle Zufallsvariable
  • Erwartungswert
  • Borel-messbare Funktion
  • Lineare Abbildung
• Eigenschaften:
  • Linearität der bedingten Erwartung auf Sigma-Algebra
  • Monotonie der bedingten Erwartung auf Sigma-Algebra.
  • Bedingter Erwartungswert entspricht bei Messbarkeit der Zufallsvariable selbst
  • Bedingter Erwartungswert entspricht Erwartungswert bei stochastischer Unabhängigkeit
  • Erwartungswert des bedingten Erwartungswertes auf Sigma-Algebra
  • Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes
• Involvierte Definitionen:
  • Sigma-Algebra
  • Zufallsvariable
  • Erwartungswert
  • Indikatorfunktion von Ereignissen
  • Lebesgue-Raum
  • Borel-messbare Funktion
  • Menge aller messbaren Zufallsvariablen aus dem Lebesgue-Raum
  • ArgInf
    • Infimum
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Definition: Bedingter Erwartungswert auf einer Sigma-Algebra

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei eine -Algebra.
Sei eine Zufallsvariable mit .

Als bedingten Erwartungswert von bedingt auf bezeichnen wir die reelle Zufallsvariable , wenn gilt:

1. ,
2. ist -messbar,
3. 𝟙𝟙.

Statt schreiben wir auch .

Anmerkung

Interpretation

Damit ist eine “Reduktion” des Umfangs der Zufallsvariable .

Die ZV akzeptiert jetzt nur noch Werte, für die gilt, dass

Für diese Werte, stimmen der Erwartungswert von und der ZV jedoch weiterhin überein (die dritte Eigenschaft):

𝟙𝟙

Proposition: Herleitung des bedingten Erwartungswertes als Optimierungsproblem

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei .
Sei .

Dann gilt:

Der bedingte Erwartungswert von bedingt auf ist also die Lösung des hier angegebenen Optimierungsproblems.

Das Optimierungsproblem selber sucht dasjenige , das den quadratischen Abstand von und minimiert.

In diesem Sinn ist die beste Approximation von unter allen -messbaren Zufallsvariablen.