Proposition - Jede Sigma-Algebra ist ein Dynkin-System

• Involvierte Definitionen:
  • Sigma-Algebra
  • Dynkin-System
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019, Eigener Beweis

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Proposition: Jede Sigma-Algebra ist ein Dynkin-System

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .

Dann gilt: ist ein Dynkin-System.

Beweis

Erste Eigenschaft

Es ist zu zeigen, dass .

Da -Algebren komplementstabil sind und , gilt auch .

Zweite Eigenschaft

Es ist zu zeigen, dass

Seien also und .
Da komplementstabil ist, gilt außerdem:

Da darüber hinaus auch vereinigungsstabil ist, gilt:

wieder mit der Komplementstabilität ist aber auch

Formen wir diesen Ausdruck mithilfe der Regeln von De Morgan um, so erhalten wir:

Also gilt , was zu zeigen war.

Dritte Eigenschaft

Es ist zu zeigen, dass
sind paarweise disjunkt .

Das ist wiederum einfach. Da mit der dritten Eigenschaft der -Algebren für beliebige gilt, dass , gilt diese Aussage natürlich insbesondere auch für die disjunkten .

Schluss

Da wir alle drei Eigenschaften der Dynkin-Systeme für zeigen konnten, ist ein Dynkin-System, was zu zeigen war.