Proposition - Maß auf Sigma-Algebra ist endlich-additiv

• Involvierte Definitionen:
  • Sigma-Algebra
  • Maß
  • Endliche Additivität von Mengenfunktionen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Maß auf Sigma-Algebra ist endlich-additiv

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Sei ein Maß auf .

Dann gilt: ist endlich-additiv, also

Beweis

Seien mit beliebige paarweise disjunkte Mengen, sodass .

Es ist zu zeigen, dass

Da eine Maßfunktion ist, wissen wir bereits: ist -additiv.
Da eine -Algebra ist, wissen wir außerdem, dass .

Sei nun eine Mengenfolge mit für alle und für alle .

Da , gilt weiter:

ä

Also

was zu zeigen war.