Definition - Konvergenz im p-ten Mittel

• Generalisierungen:
  • Folgenkonvergenz
  • Konvergenzarten der Stochastik
• Eigenschaften:
  • Konvergenz im p-ten Mittel impliziert stochastische Konvergenz
  • Konvergenz im Mittel impliziert Konvergenz des Erwartungswertes
• Hinreichende Bedingungen:
  • Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz
  • für alle gilt:
• Involvierte Definitionen:
  • Lebesgue-Raum
  • Folge von Zufallsvariablen
  • Erwartungswert
  • Limes
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Definition: Konvergenz im Mittel

Sei .
Sei eine Folge von Zufallsvariablen.
Sei eine Zufallsvariable.

Wir sagen, dass im -ten Mittel (oder auch in ) gegen konvergiert, wenn:

Wir schreiben auch

Anmerkung

Konvergenz im Mittel

Ist , so sprechen wir einfach von Konvergenz im Mittel.
Ist , so sprechen wir von Konvergenz im quadratischen Mittel.

Weshalb eigentlich das ?

Das tritt zu ehren von Henri Lebesgue auf. @henze2019 (Youtube: watch?v=LdE9eDFH-MU)