Definition - Maß-Integral

• Beispiele:
  • Maß-Integral für Treppenfunktionen
  • Maß-Integral für nichtnegative messbare numerische Funktionen
  • Maß-Integral für beliebige messbare numerische Funktionen
• Konstrukte:
  • Stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Verteilung einer stetigen Zufallsvariable
  • Induziertes Maß
• Generalisierungen:
  • Lebesgue-Integral
• Eigenschaften:
  • Zusammenhang zwischen induziertem Integral und Quellintegral
  • Transformationssatz für Integrale
• Involvierte Definitionen:
  • Maßraum
  • Messbare Funktion
  • Borel-messbare Funktion
  • Maß
  • Erweiterte Reelle Zahlen
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Maß-Integral

Sei ein Maßraum.
Sei eine -Messbare Funktion.

Als Maß-Integral (auch -Integral von über ) definieren wir

Das Ziel des Maß-Integrals ist es, einer möglichst großen Bandbreite von Funktionen ein solches Integral von bezüglich zuzuweisen.

Als Basisfall, aus dem sich alle weiteren Ansätze ergeben, definieren wir für 𝟙:

𝟙

Für komplexere Funktionstypen, siehe

• Maß-Integral für Treppenfunktionen
• Maß-Integral für nichtnegative messbare numerische Funktionen
• Maß-Integral für beliebige messbare numerische Funktionen

Anmerkung

Unterschiedliche Schreibweisen

Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet.

Möchte man das Lebesgue-Integral bzgl. des Borel-Lebesgue-Maßes angeben, so schreibt man bspw. einfach

Möchte man auch die Integrationsvariable mit angeben, so schreibt man bspw:

• oder
• oder auch