Proposition - Maß-Integral für nichtnegative messbare numerische Funktionen

• Bewiesen durch:
  • Maß-Integral für Treppenfunktionen
• Generalisierungen:
  • Maß-Integral für beliebige messbare numerische Funktionen
• Involvierte Definitionen:
  • Maß-Integral
  • Punktweise Konvergenz
  • Funktionenfolge
  • Treppenfunktion
  • Isotonie
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Maß-Integral für nichtnegative messbare numerische Funktionen

Sei ein Maßraum.
Sei eine nichtnegative, borel-messbare, numerische Funktion. Also: .

Dann gilt:

wobei eine Folge von Treppenfunktionen mit

• punktweiser Konvergenz
  
• und Isotonie (monoton wachsend)
  

sei.

Wie das Maß-Integral einer Treppenfunktion gebildet werden kann, haben wir bereits hier gezeigt.

Anmerkung

Maß-Integral ?

Ja, für nichtnegative messbare numerische Funktionen darf

gelten. Für messbare numerische Funktionen mit Negativteil allerdings nicht.

Herleitung

Wir zeigen nun zunächst, dass es eine solche Funktionenfolge gibt.
Da wir durch eingeschränkt haben, könnten wir äquivalent auch schreiben: .

Wir zerlegen den Wertebereich nun wie folgt in paarweise disjunkte halboffene Intervalle:

Das Schema ist dabei für alle ; .

Auf Basis dieser Zerlegung definieren wir uns jetzt eine Treppenfunktion .

Der Funktionswert berechnet sich dabei, in dem wir für prüfen, in welchem der Intervalle sich der Funktionswert befindet. Haben wir das passende Intervall identifiziert, setzen wir , wir wählen als Wert für also die untere Intervallgrenze.

Konkret gehen wir wie folgt vor:

• wir summieren über alle Intervalle
• liegt der Wert in dem Intervall, so ist die Indikatorfunktion und damit wird, wie bereits beschrieben, die untere Intervallgrenze addiert,
• liegt der Wert nicht in dem Intervall, so ist die Indikatorfunktion und damit wird auch gar nichts zu der Summe hinzuaddiert.
• die Summe ist damit immer:

𝟙𝟙