Proposition - Maß-Integral für Treppenfunktionen

• Generalisierungen:
  • Maß-Integral für nichtnegative messbare numerische Funktionen
  • Maß-Integral für beliebige messbare numerische Funktionen
• Involvierte Definitionen:
  • Maß-Integral
  • Maßraum
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Maß-Integral für Treppenfunktionen

Sei ein Maßraum.
Sei eine nichtnegative, borel-messbare, reelle Funktion mit endlichem Wertebereich. Also: .

Dann gilt:

Mit

• Den jeweiligen Werten der Treppenstufen ,
• den Mengen der Werte der Treppenstufen .

Elementarfunktion als anderer Begriffe für Treppenfunktion?

Ja, in der Regel handelt es sich bei Elementarfunktionen eher um

in dem Kontext von Maß-Integralen bezeichnen wir als Elementarfunktion aber Funktionen wie - also nichtnegative, messbare, reelle Funktionen mit endlichem Wertebereich.

Andere Begriffe sind:

• einfachen Funktionen,
• Treppenfunktionen,
• Stufenfunktionen

Herleitung

Sei also eine solche nichtnegative, messbare, reelle Funktion mit endlichem Wertebereich. Also: .

Sei nun . Wir wählen die so, dass

Da außerdem borel-messbar ist, muss es Mengen geben, so dass

das heißt: für jedes Bildelement muss es eine Menge geben, deren Elemente alle den Bild-Wert annehmen.

Dann kann man aber auch als folgende Linearkombination auffassen:

𝟙

also

𝟙

Mithilfe des Basisfalls des Maß-Integrals können wir jetzt den Fall bestimmen:

𝟙𝟙

was zu zeigen war.