Proposition - Varianz ist 0 genau dann wenn Verteilung degeneriert ist

• Involvierte Definitionen:
  • Varianz
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Mengenschreibweise bei Zufallsvariablen
  • Diskrete Verteilung
  • Degenerierte Verteilung
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Varianz ist ist degeneriert

Sei eine diskrete Zufallsvariable.

Es gilt:

wobei fest sei.

Beweis

1.

Sei mit .

Sei also . Dann gilt auch:

Da , muss es mindestens ein geben, sodass .

Da , muss für dieses gelten, dass , andernfalls wäre nämlich und damit auch

was einen Widerspruch zu der Voraussetzung darstellen würde.

Es folgt, dass sein muss. Damit folgt:

Da der Erwartungswert einer Zufallsvariablen eindeutig ist, es kann also kein geben, sodass , folgt, dass es nur einen Wert geben kann, für den ist. Andernfalls wären wir nämlich wieder in der Situation, dass sein müsste - was wir ja nach Voraussetzung ausgeschlossen haben.

Da es nur ein mit gibt, aber ist, folgt mit der Verteilung einer diskreten Zufallsvariable, dass

sein muss. Also: , was zu zeigen war.

2.

Sei mit .
Sei mit .

Dann muss für alle gelten, dass . Andernfalls wäre nämlich mit der Definition der Verteilung einer diskreten Zufallsvariable:

Das ist aber ein Widerspruch gegenüber der Normiertheit des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Es folgt also, dass für alle gilt, dass (wie schon gerade eben vermutet).

Dann ist aber auch , denn

Für die Varianz folgt damit:

was zu zeigen war.

3.

Da wir beide Richtungen beweisen konnten, folgt die Behauptung.