Proposition - Wahrscheinlichkeitsmaße liegen für beliebige Ereignisse zwischen 0 und 1

• Involvierte Definitionen:
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Wahrscheinlichkeitsraum
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Wahrscheinlichkeitsmaße liegen für beliebige Ereignisse zwischen 0 und 1

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Dann gilt für beliebige Ereignisse :

Beweis

Sei ein beliebiges Ereignis.
Da eine -Algebra ist, gilt auch .

Dass gilt, erhalten wir aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Es bleibt zu zeigen, dass .

Nach Definition des Komplements gilt

Da ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, gilt .
Da auch endlich additiv ist, gilt weiter:

Da (wie bereits festgestellt) bedeutet das: egal welche Menge wir wählen, wir sind stets durch nach oben beschränkt, also:

Was zu zeigen war.