Proposition - Für W-Maße ist die Leere Menge immer eine Nullmenge

• Involvierte Definitionen:
  • Leere Menge
  • Wahrscheinlichkeitsmaß
  • Wahrscheinlichkeitsraum
  • Nullmenge
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Proposition: Für Wahrscheinlichkeitsmaße ist die leere Menge immer eine Nullmenge

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Dann gilt:

Beweis

Da ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist auch -additiv. Es gilt also:

Sei nun .
Dann gilt:

Es gilt also insbesondere

Angenommen, .

Dann gilt aber auch

↯

Das ist aber ein Widerspruch, denn wir hatten ja angenommen, dass also ist .

Da also zu einem Widerspruch führt, muss gelten, dass

was zu zeigen war.