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Aufgabe: Betragsfunktion ist nicht differenzierbar in 0

Die Betragsfunktion ist in dem Punkt nicht differenzierbar.

Beweis

Es ist zu zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert. Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Wir betrachten einerseits die Folge , wobei und .

Andererseits betrachten wir die Folge , wobei ebenfalls .

Dann gilt mit Definition 12.2.19 für :

Und für gilt mit Definition 12.2.19:

Das ist ein Widerspruch zu Proposition 15.3.7, denn

↯

Da die Grenzwerte verschieden sind, kann der Grenzwert nicht existieren und mit Definition 16.1.1 1.) ist in nicht differenzierbar.