Proposition - Lineare Abbildung ist injektiv iff Kern der linearen Abbildung ist der Nullvektorraum

• Involvierte Definitionen:
  • Lineare Abbildung
  • Kern einer linearen Abbildung
  • Nullvektorraum
  • Injektivität
• Referenz:
  • Mathegrundlagen

Proposition: Injektiv Kern ist Nullvektorraum

Es gilt:

Beweis

Sei injektiv.

Da linear ist, gilt . Da injektiv ist, gibt es kein mit .

Nur für den Nullvektor gilt also, dass . Daher gilt:

Sei .

Seien mit .

Dann gilt: . Damit liegt im . Da jedoch , muss gelten: - und damit, dass .

ist also injektiv.

Schluss

Da beide Richtungen halten gilt: die Behauptung