Algorithmus - Ermitteln der geschlossenen Formel einer linearen Abbildung

• Referenz:
  • 8.4, Lineare Abbildungen und Basen
  • Mathegrundlagen

Das könnte man abkürzen, in dem man hervorhebt, dass für die kanonische Basis herausgefunden werden muss.

Aus den kann man dann übrigens auch eine Matrix bilden mit . Es gilt dann .

Algorithmus: Ermitteln der geschlossenen Formel einer linearen Abbildung

Sei eine lineare Abbildung, zwei Vektorräume und eine Basis von

Um die geschlossene Formel von herauszufinden, können wir wie folgt vorgehen:

1. Wir nehmen uns ein beliebiges . Die Einträge füllen wir mit Variablen.
2. Wir wenden auf den mit Variablen gefüllten Eintrag an:
3. Wir “expandieren” so, dass die Summe der Expansion gemeinsam mit der Basis von den Eintrag ergibt
4. Alle Summanden sind jetzt Teil der Basis und wir “übersetzen” jetzt in das zugewiesene .
5. Damit sind wir fertig

Um den Algorithmus zu verstehen, hier ein paar Beispiele

Beispiele

1.

Zuerst wählen wir als Basis die Definition - Standardbasis der Polynome:

Nun definieren wir wie folgt (das ist nur ein Beispiel, wir könnten auch anders wählen):

Jetzt haben wir alles, was wir für den Algorithmus brauchen. Wir starten also:

1. Wir wählen beliebig also
2. Wir wenden auf an also
3. Wir expandieren , also
4. Wir übersetzen die Summanden nach
5. Und wir sind fertig. Die geschlossene Form ist also das Ergebnis von 4.

2.

Als Basis von wählen wir die Standardbasis von K hoch n:

Nun definieren wir wie folgt (das ist nur ein Beispiel, wir könnten auch anders wählen):

Jetzt haben wir alles, was wir für den Algorithmus brauchen. Wir starten also:

1. Wir wählen beliebig also
2. Wir wenden auf an also
3. Wir expandieren , also
4. Wir übersetzen die Summanden nach
5. Und wir sind fertig. Die geschlossene Form ist also das Ergebnis von 4.

3.

Zuerst wählen wir eine Basis von :

Nun definieren wir wie folgt (das ist nur ein Beispiel, wir könnten auch anders wählen):

Jetzt haben wir alles, was wir für den Algorithmus brauchen. Wir starten also:

1. Wir wählen beliebig also
2. Wir wenden auf an also:
3. Wir expandieren , also
4. Wir übersetzen die Summanden nach
5. Und wir sind fertig. Die geschlossene Form ist also: