Proposition - Basis iff eindeutige Linearkombination

• Bewiesen durch: Lineare Unabhängigkeit
• Referenz:
  • Mathegrundlagen
  • } Mathematische Grundlagen KE3 - Basen endlich erzeugter Vektorräume

Proposition: Proposition - Charakterisierung von Basen

Sei ein -Vektorraum mit Seien .

Dann gilt:

1. ist eine Basis von
2. jedes lässt sich als eindeutige Linearkombination der Vektoren schreiben.

Beweis

Da ein Erzeugendensystem von ist, ist jedes eine Linearkombination der Vektoren .

Sei . Seien und mit Koeffizienten, so dass: .

Es ist nun zu zeigen, dass .

Es gilt:

Da linear unabhängig sind, gibt es nur triviale Darstellungen des Nullvektors. Es muss daher gelten, dass für alle .

Jedes lässt sich eindeutig als Linearkombination der Vektoren schreiben.

Das heißt, ist ein Erzeugendensystem von . Es bleibt zu zeigen, dass linear unabhängig sind.

Also . Insbesondere lässt sich auch der Nullvektor als Linearkombination darstellen. Da grundsätzlich gilt, dass

und die Linearkombination eindeutig sein muss, muss gelten, dass für alle . Es gibt also nur triviale Darstellungen des Nullvektors, womit auch linear Unabhängig sind.