Proposition - Potenzregeln für rationale Exponenten

• Bewiesen durch: `Propositionen/Theoreme, auf denen der Beweis aufbaut
• Generalisierungen:
  • Potenzregeln für reelle Exponenten
• Involvierte Definitionen:
  • Exponent für p-te Wurzeln

Proposition: Potenzregeln für rationale Exponenten

Seien . Sei . Sei . Seien .

Dann gilt:

Beweis

Beweis zu 1.

Es gilt:

was zu zeigen war. (Wir können das nicht direkt mit Bemerkung 12.1.3 lösen, denn und sind rationale Zahlen.)

Beweis zu 2.

Es gilt:

(Im Skript wird eine Fallunterscheidung gemacht, daher ist der Beweis hier vermutlich an irgendeiner Stelle falsch)

Beweis zu 3.

Es gilt und

Wir zeigen, dass auch für gilt, dass gilt.

Also:

Beweis zu 4.

Es genügt zu zeigen, dass gilt. Also:

Beweis zu 5.

Es reicht hier wieder zu zeigen, dass Es gilt: