Beispiel - Die konvergierende Exponenten-Folge

Beispiel - Die konvergierende Exponenten-Folge

Sei , dann konvergiert die Folge gegen .

Beweis

Ist , so gilt die Behauptung bereits. Sei daher . Mit Proposition 12.2.15 folgt:

Das bedeutet weiter auch, dass es ein gibt, sodass

Der Zähler von sieht schon fast so aus wie in der Bernoulli’schen Ungleichung. Außerdem gilt . Wir könnten sie also theoretisch anwenden.

Formen wir etwas um, erhalten wir:

wobei . Mit der Bernoulli’sche Ungleichung gilt:

Mit dem Transitivitätsgesetz (A7) folgt:

Es genügt also zu zeigen, dass es ein gibt, sodass ist.

Nach dem Satz des Archimedes gibt es ein und es gilt weiter

Wir erhalten also:

was zu zeigen war.