Theorem - Bild der Exponentialfunktion

• Involvierte Definitionen:
  • Exponentialfunktion
  • Bild einer Abbildung
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Bild der Exponentialfunktion

Sei .

Dann gilt für die Exponentialfunktion zu der Basis :

1. .
2. .

Beweis

1. Beweis:

Sei . Da gilt mit Korollar 14.2.23:

Damit folgt zunächst .

Um zu beweisen, dass wählen wir nun ein beliebig und zeigen, dass ein existiert, sodass .

Teil 1: Sei zunächst

Mit Proposition 12.2.15 folgt damit .
Mit Beispiel 13.1.11 4.) wissen wir, dass .
Dann gibt es mit Definition 13.1.6 ein , sodass gilt:

Mit Proposition 12.2.15 folgt

Damit gilt nun die Ungleichungskette

Wir bilden jetzt eine Intervallschachtelung , sodass stets gilt.

Mit Satz 13.5.22 enthält diese Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl , die in allen Intervallen der Schachtelung liegt.

Nach Definition der Intervallschachtelung gilt . Es folgt:

Da wir für alle vorausgesetzt hatten, dass folgt mit dem Vergleichssatz:

Es folgt . Damit existiert also ein , sodass .

Teil 2: Sei nun

Mit Proposition 12.2.15 folgt damit .
Mit dem gerade bewiesenen Teil 1 gibt es also ein mit .

Sei . Damit gilt . Es existiert also ein , sodass .

Teil 3:

Da wir beliebig gewählt haben und zeigen konnten, dass stets ein existiert, sodass , folgt, dass

2. Beweis

Mit Satz 14.2.35 folgt, dass ist. Da das Bild von , folgt auch .