Lemma - Regeln zu Ungleichungen mit Exponenten

• Generalisierungen:
  • Regeln zu Ungleichungen mit rationalen Exponenten
• Involvierte Definitionen:
  • Ungleichungen
  • Ganzzahlige Exponenten

Lemma: Regeln zu Ungleichungen mit ganzzahligen Exponenten

Seien und

Dann gilt:

Beweis

Wir beweisen die Behauptung mit vollständiger Induktion nach .

Induktionsanfang

Sei .

Dann gilt .

Sei , dann gilt auch und vice versa.

Induktionsvoraussetzung

Für ein gelte:

• und

Induktionsschritt

Es ist zu zeigen, dass

1. und

Zu 1.

Es gilt

Da und nach IV , ist mit Proposition 12.2.5 auch das Produkt größer als .

Zu 2.

Sei . Es ist zu zeigen, dass . Es gilt:

Nach der IV gilt:

Da:

• und
• gilt mit Proposition 12.2.12 auch

was zu zeigen war.

Diese Richtung zeigen wir per Kontraposition. Dafür ist zu zeigen:

Nach IV gilt

Es folgt:

was zu zeigen war.

Schluss

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung für alle .