Proposition - Produkt ist größer als 0 genau dann wenn alle Faktoren positiv oder negativ sind

• Bewiesen durch:
  • Monotoniegesetz (A8)
  • Proposition 12.2.3
  • 3. Vorzeichenregeln
• Involvierte Definitionen:
  • Ungleichung
  • Reelle Zahlen
  • Ordnungsaxiome

Proposition: Positive Ungleichungen durch Produkt

Seien .

Dann ist genau dann, wenn beide positiv oder beide negativ sind:

Beweis

Sei . Dann muss gelten .

Wir unterscheiden zwei Fälle.

Fall 1: . Wir beweisen durch Widerspruch. Angenommen, . Dann folgt mit Proposition 12.2.3, dass .

Mit dem Monotoniegesetz (A8) folgt:

Was wir auch schreiben können als: ↯

Das ist ein Widerspruch, denn wir hatten angenommen.

Fall 2: . Wir beweisen wieder durch Widerspruch, genau wie bei Fall 1.

Angenommen, . Dann folgt mit Proposition 12.2.3, dass .

Mit dem Monotoniegesetz (A8) folgt:

Was wir auch schreiben können als: ↯

Das ist ein Widerspruch, denn wir hatten angenommen.

1. Seien beide positiv. Mit dem Monotoniegesetz (A8) erhalten wir:
2. Seien beide negativ. Mit dem Monotonie (A8) und der 3. Vorzeichenregel gilt: