Beweisprinzipien

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Definition

Vollständige Induktion

Transclude of Definition-Vollständige-Induktion#concept

Direkter Beweis

Beweise mit e.g. zwei Aussagen und nach dem Schema nennt man direkter Beweis.

Auch Äquivalenzbeweise lassen sich auf solche direkten Beweise reduzieren, in dem, wie weiter oben besprochen, der Beweis auf die beiden Richtungen und aufgeteilt wird.

Beweise durch Kontraposition

Bei diesem Schema nutzen wir die Umkehrung von A⇒B. Wie oben Besprochen ist die Aussage äquivalent zu der Aussage . Diese Richtung ist manchmal jedoch einfacher zu lösen. Wir nehmen dann an, gelte und versuchen zu zeigen, dass dann auch gilt.

Indirekte Beweise (Widerspruchsbeweise)

Angenommen, wir müssten () beweisen. Wir können uns auch entscheiden, die Aussage zu widerlegen - dann muss nämlich gelten: also ein Beweis durch Widerspruch.

Ein Widerspruchsbeweis beruht darauf, dass aus einer wahren Aussage nicht auf etwas Falsches geschlossen werden kann: Wenn also aus „B ist falsch“ auf offensichtlichen Unsinn geschlossen werden kann, dann muss die Aussage „B ist falsch“ verworfen werden.

Ringschlüsse

Hierbei handelt es sich um Beweise nach dem Schema: “wenn gilt, dann sind die Aussagen (i), (ii) und (iii) äquivalent”

Um diesen Beweis zu führen nehmen wir als erstes an, dass als Voraussetzung gilt. Dann zeigen wir, dass

Dank der so hergestellten Transitivität lässt sich nicht nur sondern auch schließen.

Examples

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Appendix

• Tags:
  • Math
• Reference:
  • } Mathematische Grundlagen KE1 - Beweisprinzipien
• Related:
  • Definition - Vollständige Induktion

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