Bemerkung - Eindeutigkeit p-ter Wurzeln

• Bewiesen durch:
  • Regeln zu Ungleichungen mit Exponenten
• Involvierte Definitionen:
  • Reelle Zahlen
  • p-te Wurzel

Korollar: Bemerkung - Eindeutigkeit p-ter Wurzeln

Sei mit . Sei eine -te Wurzel aus mit .

Dann ist die einzige -te Wurzel aus .

Beweis

Ist oder , so gilt die Behauptung nach Definition - p-te Wurzel.

Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

Seien und verschiedene -te Wurzeln aus . Da , gilt .

Sei, o.b.d.A., . Mit dem Lemma 12.2.66 folgt, .

Das ist ein Widerspruch dazu, dass gelten muss, da und beide eine -te Wurzel von sein sollten.

Es folgt, dass es maximal eine -te Wurzel aus geben kann.