Korollar - Äquivalenz von Supremumsprinzip und Schnittaxiom

• Bewiesen durch:
  • Supremumsprinzip
  • Proposition 12.2.55
• Involvierte Definitionen:
  • Supremumsprinzip
  • Schnittaxiom (A9)
  • Dedekind’scher Schnitt
  • Trennungszahl

Korollar: Äquivalenz von Supremumsprinzip und Schnittaxiom

Das Supremumsprinzip und das Schnittaxiom (A9) sind äquivalent.

Anmerkung

Der Vorteil des Schnittaxioms (A9) ist, dass man es sich so gut vorstellen kann, denn es hat ja eine geometrische Interpretation. Der Vorteil des Supremumsprinzips ist, dass man mit ihm besser rechnen kann.

Beweis

Da wir bereits bewiesen haben, dass das Supremumsprinzip gilt, folgt mit Proposition 12.2.55, dass jeder Dedekind’sche Schnitt genau eine Trennungszahl besitzt.

Das ist jedoch genau, was auch das Schnittaxioms (A9) besagt.