Definition - Linearkombination von Maßen

• Generalisierungen:
  • Linearkombination
  • Maßfunktion
• Involvierte Definitionen:
  • Linearkombination
  • Maßfunktion
  • Folge
• Veranstaltung: EiS
• Referenz: @henze2019

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Definition: Linearkombination von Maßen

Sei eine Grundmenge.
Sei eine -Algebra über .
Seien mit Maße auf .
Sei eine Folge positiver reeller Zahlen, also .

Als Linearkombination von Maßen bezeichnen wir:

Beweis

Wir wollen nun zeigen, dass es sich bei der Linearkombination von Maßen um ein wohldefiniertes Maß handelt.

Hierzu ist zu zeigen, dass:

1. und
2. ist -Additiv.

1.

Das ist leicht einzusehen, denn bei den handelt es sich ja bereits um Maße. Es gilt also:

2. ist -additiv.

Der zweite Teil ist etwas schwieriger zu zeigen.

Es ist zu zeigen, dass

wobei eine Mengenfolge paarweise disjunkter Mengen ist.

Wir rufen uns noch mal die Definition des Maßes in Erinnerung:

Memo - Definition der Linearkombination von Maßen

Wir wenden jetzt stringent die Definition von an. Außerdem nutzen wir aus, dass es sich bei den bereits um wohldefinierte Maße handelt, die selber -additiv sind.

Damit gilt:

ß

Also

was zu zeigen war.

3. Schluss

Da beide Eigenschaften

1. und
2. ist -Additiv.

gezeigt werden konnten, gilt, dass es sich bei um eine wohldefinierte Maßfunktion handelt - was zu zeigen war.