Beispiel - Die konvergente Summenbruch-Folge mit Fakultät

• Bewiesen durch:
  • Einschnürungssatz
• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Konvergenz
  • Monotone Folge
  • Beschränktheit von Folgen
• Referenz: Mathegrundlagen

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Beispiel: Die konvergente Summenbruch-Folge mit Fakultät

Die Folge konvergiert gegen .

Anmerkung

Es gibt hier zwei Beweise, einmal ein Beweis der grundsätzlichen Konvergenz (Beispiel 13.5.4) und einmal der Konvergenz gegen (Proposition 13.5.9).

Beweis: konvergiert

Mit Korollar - Monotone Folge konvergiert gdw Monotone Folge ist beschränkt reicht es zu zeigen, dass monoton wachsend und beschränkt ist.

1. ist monoton wachsend

Es gilt:

Mit Definition 13.5.1 1.) folgt, dass monoton wachsend ist.

2. ist beschränkt

Da , reicht es zu zeigen, dass nach oben beschränkt ist.

Sei . Es gilt:

Es gilt also: . Nach Definition 12.2.42 2.) ist damit nach oben beschränkt. Es folgt, dass beschränkt ist, was zu zeigen war.

3. Schluss

Mit Korollar 13.5.3 folgt, dass konvergiert.

Beweis: konvergiert gegen

Wir wissen bereits, dass Proposition - (1+frac{1}{n}) hoch n konvergiert gegen die Euler’sche Zahl gegen konvergiert.

Wenn wir zeigen können, dass , dann sind wir fertig.

Teil 1:

Mit dem Binomischen Lehrsatz gilt:

Und für den Term gilt:

ü

Teil 2:

Seien mit . Dann gilt:

ü

Es folgt:

3. Schluss

Da für alle mit folgt:

folgt mit dem Einschnürungssatz:

was zu zeigen war.