Proposition - Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig

• Involvierte Definitionen:
  • Konvergenz
  • Folge
  • Grenzwert
• Referenz: Mathegrundlagen

Proposition: Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig

Ist eine konvergente Folge, so ist ihr Grenzwert eindeutig.

Beweis

Wir führen den Beweis per Widerspruch. Angenommen, und , mit , seien zwei verschiedene Grenzwerte der Folge .

Dann gilt nach Definition 13.1.6, dass

• in jeder -Umgebung fast alle Glieder von liegen und
• in jeder -Umgebung von fast alle Glieder von liegen.

Damit muss gelten, dass:

Oder in anderen Worten: fast alle Glieder müssen in dem Schnitt der beiden -Umgebungen liegen.

Da , können wir o.b.d.A. annehmen, dass .

Dann können wir aber auch zwei -Umgebungen wie folgt wählen: Sei .

Sei der rechte Randpunkt von und der linke Randpunkt von .

Dann gilt , denn:

also .

Damit gilt weiter aber auch, dass . Das ist ein Widerspruch, denn wenn und beide ein Grenzwert von wären, müssten fast alle Glieder von in liegen, der Schnitt ist aber leer.