Proposition - Eine Folge konvergiert nicht gegen a iff eine Teilfolge liegt vollständig außerhalb einer Epsilon-Umgebung

• Involvierte Definitionen:
  • Folge
  • Teilfolge
  • Epsilon-Umgebung
  • Konvergenz
  • Divergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

Proposition:

Sei eine Folge. Es gilt:

konvergiert nicht gegen sodass eine Teilfolge von vollständig außerhalb von liegt.

Beweis

Sei eine Folge, die nicht gegen konvergiert. Nach Definition 13.1.6 bedeutet das:

üüßäß

Sei eine Folge und eine Zahl, für die es eine -Umgebung gibt, sodass eine Teilfolge von vollständig außerhalb von liegt.

Da Teilfolgen unendlich viele Folgenglieder enthalten, kann nicht gelten, dass fast alle Glieder von in liegen. Damit konvergiert nicht gegen .

Da beide Richtungen halten, gilt die Aussage.