Definition - Strikt Konvexe Funktion

• Typen:
• Beispiele:
  • Quadratische Funktion,
  • Exponentialfunktion,
  • Negativer Logarithmus
• Generalisierungen:
  • Konvexe Funktion
• Eigenschaften:
  • Addition strikt konvexer Funktionen ist strikt konvex
  • Skalarmultiplikation mit strikt konvexer Funktion ist strikt konvex
  • Globales Minimum einer strikt konvexen Funktionen ist eindeutig
  • Strikt konvexe Funktionen auf konvexer und kompakter Menge besitzen ein eindeutiges globales Minimum
  • Strikt konvexe Funktion hat ihr eindeutiges globales Minimum an der Stelle an der der Gradient null ist
  • Zulässige strikt konvexe Optimierungsprobleme haben eine eindeutige Lösung
• Hinreichende Bedingungen:
  • Auf strikte Konvexität schließen
  • Addition strikt konvexer Funktionen ist strikt konvex
• Charakterisierungen:
  • Funktion ist strikt konvex gdw
  • Funktion ist strikt konvex gdw Hessematrix ist positiv definit
• Involvierte Definitionen:
  • Konvexe Menge
  • Funktion
  • Abgeschlossenes Intervall
  • Sekante
  • Siehe auch Konkave Funktion
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Definition: Strikt konvexe Funktion

Sei eine konvexe Menge.
Sei eine Funktion.

Wir bezeichnen als strikt konvex, wenn

Das heißt, wenn die Sekante durch die zwei Punkte und im Bereich zwischen diesen beiden Punkten oberhalb (und nicht auf) des Funktionsgraphen von liegt.

Anmerkung

Und wie sieht so eine (strikt) konvexe Funktion jetzt aus?

Eine konvexe Funktion macht auf dem Intervall eine “Linkskurve” in Richtung wachsender -Werte. Anschaulich:

¹

Und weshalb ist hier jetzt in dem offenen Intervall?

Das offene Intervall wird insbesondere für die Definition strikt konvexer Funktionen benötigt.

Footnotes

1. @teschl2014 ↩