Theorem - Repräsentation der Euler'schen Zahl durch Nullfolge

• Involvierte Definitionen:
  • Euler’sche Zahl
  • Nullfolge
  • Konvergenz
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Repräsentation der Euler'schen Zahl durch beliebige Nullfolge

Sei eine Nullfolge.
Für alle Folgenglieder gelte: und .

Dann gilt:

Beweis

Der Beweis ist wieder recht lang, wir teilen ihn in mehrere Etappen auf. Teile und herrsche.

Teil 1: Sei zunächst

Da eine Nullfolge ist, gibt es ein , sodass

Mit Proposition 12.2.15 folgt für diese

Teil 1.1 Darstellung mit Folge natürlicher Zahlen

Sei eine Folge natürlicher Zahlen, sodass

Da eine Nullfolge ist, folgt aus mit dem Einschnürungssatz:

Mit Proposition 13.4.12 und ist auch eine Nullfolge. Für gilt:

Da wir bereits festgestellt haben, dass eine Nullfolge ist, folgt, wieder mit dem Einschnürungssatz:

Mit dem Monotoniegesetz (A8) folgt ebenfalls aus :

Da mit Proposition 14.2.25 1.) die Potenzfunktion für Exponenten streng monoton wächst und mit gilt, dass , folgt aus auch:

Da mit Satz 14.2.35 4.) die Exponentialfunktion für Basen streng monoton wächst (und die Basen in alle sind) folgt mit der ersten Gleichung aus und der Gleichung aus :

Hiermit können wir umschreiben und erhalten folgende Abschätzung:

Teil 1.2: Einschnürung von

Wir werden jetzt zeigen, dass und gegen konvergieren. Mit dem Einschnürungssatz folgt dann nämlich, dass auch gegen konvergiert.

Teil 1.2.1: konvergiert gegen

Mit Definition 13.5.6 gilt, dass die Folge gegen konvergiert. Mit Lemma 14.2.38 folgt:

Es gilt also, dass gegen konvergiert - und das ist genau, was wir in diesem Unterabschnitt zeigen wollten.

Teil 1.2.2: konvergiert gegen

Wir schreiben den Term zunächst etwas um. Es gilt:

In Gleichung hatten wir bereits gezeigt, dass eine Nullfolge ist. Mit Proposition 13.4.12 folgt

Es bleibt jetzt noch zu zeigen, dass gegen konvergiert.

Mit Proposition 13.5.7 1.) gilt, dass die Folge gegen konvergiert. Mit Lemma 14.2.38 folgt:

Es gilt also, dass gegen konvergiert. Damit gilt insgesamt:

Es folgt, dass gegen konvergiert - und das ist genau, was wir in diesem Unterabschnitt zeigen wollten.

Teil 1.3: Abschluss der Einschnürung

In den beiden vorausgegangenen Unterunterabschnitten haben wir gezeigt, dass und . Mit Gleichung und dem Einschnürungssatz folgt auch für :

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(vorausgesetzt, )

Teil 2: Wir ändern die Folge ab

Um zu zeigen, dass die Behauptung auch für alle gilt, stellen wir nun die Folge etwas um.

Wir setzen aber weiterhin voraus, dass !

Wir untersuchen im Folgenden den Grenzwert der Folge:

Mit Gleichung folgt mit Proposition 12.2.9 und dem Monotoniegesetz (A8):

Wie für folgt mit Proposition 14.2.25 1.), dass die Potenzfunktion für Exponenten streng monoton wächst und mit , dass . Wir können also auch schreiben:

Da mit Satz 14.2.35 5.) die Exponentialfunktion für Basen in streng monoton fällt (und die Basen in alle in sind) folgt mit der ersten Gleichung aus und der Gleichung :

Hiermit können wir umschreiben und erhalten folgende Abschätzung:

Wir werden jetzt zeigen, dass und gegen konvergieren. Mit dem Einschnürungssatz folgt dann nämlich, dass auch gegen konvergiert. Das ist zielführend, denn:

Und das würde bedeuten: auch wenn alle negativ sind, gilt - genau, was wir in diesem zweiten Teil zeigen wollten.

Teil 2.1: konvergiert gegen

Wir schreiben den Term zunächst etwas um. Es gilt:

In Gleichung hatten wir bereits gezeigt, dass eine Nullfolge ist. Mit Proposition 13.4.12 folgt

Es bleibt jetzt noch zu zeigen, dass gegen konvergiert.

Mit Proposition 13.5.7 2.) gilt, dass die Folge gegen konvergiert. Mit Lemma 14.2.38 folgt:

Es gilt also, dass gegen konvergiert. Damit gilt insgesamt:

Es folgt, dass gegen konvergiert - und das ist genau, was wir in diesem Unterabschnitt zeigen wollten.

Teil 2.2: konvergiert gegen

Wir schreiben den Term zunächst etwas um. Es gilt:

Wie in den vorangegangenen Abschnitten konvergiert wieder mit Lemma 14.2.38 gegen . Es folgt:

Teil 2.3: Abschluss der Einschnürung

In den beiden vorausgegangenen Unterabschnitten haben wir gezeigt, dass und . Mit Gleichung und dem Einschnürungssatz folgt auch für :

Das heißt: auch wenn alle negativ sind, gilt .

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Teil 3: Unendlich viele negative und positive Folgenglieder

Wir haben bis jetzt gezeigt, dass die Behauptung gilt, wenn entweder fast alle Folgenglieder oder sind.

Hier wollen wir zeigen, dass die Behauptung auch dann gilt, wenn sowohl unendlich viele Folgenglieder positiv als auch negativ sind.

In diesem Fall lässt sich die Folge in zwei Teilfolgen zerlegen, von denen die eine nur positive und die zweite nur negative Folgenglieder enthält.

Mit Teil 1 und Teil 2 gilt dann:

Damit liegen aber auch fast alle Glieder von in und es gilt, dass gegen konvergiert.

Damit gilt die Behauptung.