Proposition - Rechenregeln des Betrages für Verknüpfungen

• Bewiesen durch:
  • Rechenregeln für Körper
  • Proposition 12.2.5
  • Korollar 12.2.6
  • Bemerkung 12.2.20
• Involvierte Definitionen:
  • Betrag einer reellen Zahl

Proposition: Rechenregeln des Betrages für Verknüpfungen

Für alle reellen Zahlen gilt:

Beweis

Zu 1.

Wir unterscheiden 3 Fälle:

1.

Dann gilt nach den Rechenregeln für Körper, dass .

Da nach der Definition - Betrag einer reellen Zahl dann auch gilt , gilt: und auch .

Also:

2.

Dann gilt nach Proposition 12.2.5, dass entweder und beide positiv oder beide negativ sein müssen.

1. Sind und beide positiv, dann gilt: und . Also auch
2. Sind und beide negativ, dann gilt
   • und .
   • Da gilt:
   • Also:

3.

Dann gilt nach Korollar 12.2.6, dass und verschiedene Vorzeichen haben müssen.

Sei und ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Dann gilt und .

Weiter ist .

Also:

Zu 2.

Mit Bemerkung 12.2.20 Punkt 3. und 4. gilt:

1. Sei . Dann ist .
2. Sei Dann ist

Zu 3.

Sei

Dann gilt mit Proposition 12.2.13:

Offen ist nun noch, ob . Es gibt wieder zwei Fälle.

1. Ist , dann gilt nach Definition 12.2.19 . Dann gilt also auch:
2. , dann gilt nach Definition 12.2.19 . Dann gilt also auch

(Ein anderer Beweisansatz für findet sich im Skript.)

Zu 4.

Zu zeigen:

Beweis

1. Teil

Mit der 2. Rechenregeln des Betrages für Verknüpfungen gilt:

Also:

Analog gilt:

Also:

Es gilt also:

• und

Also:

2. Teil

Der zweite Teil folgt nun aus dem ersten, denn: