Lemma - Es gibt eine Folge die gegen das Supremum einer beschränkten Teilmenge von R konvergiert

• Bewiesen durch:
  • Einschnürungssatz
  • Proposition 13.4.12
• Involvierte Definitionen:
  • Supremum
  • Konvergenz
  • Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Lemma: Es gibt eine Folge, die gegen das Supremum einer beschränkten Teilmenge von konvergiert

Sei und .

Dann gibt es eine Folge mit , die gegen konvergiert.

Beweis

Wir machen wieder eine Fallunterscheidung:

1. Teil:

Liegt in (und ist damit ein Maximum), dann sei eine konstante Folge und wir sind fertig.

2. Teil:

Liegt nicht in , dann gilt mit Definition 12.2.47 2.):

Da mit Proposition 13.4.12 gilt

• und außerdem ,

folgt mit dem Einschnürungssatz, dass gegen konvergiert.