Definition - Standard-Cauchy-Verteilung

• Generalisierungen:
  • Cauchy-Verteilung
  • Standardnormalverteilung
  • Studentsche t-Verteilung mit n Freiheitsgraden für
• Involvierte Definitionen:
  • Stetige Zufallsvariable
  • Dichte
  • Absolut stetige Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen
  • Standardnormalverteilung
  • Dichte der Division zweier Zufallsvariablen
• Veranstaltung: EiS, MatheDS
• Referenz: @henze2019, @riedel2023

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Definition: Standard-Cauchy-Verteilung

Wir bezeichnen die Zufallsvariable als Standard-Cauchy-Verteilt, kurz , wenn die folgende Dichte besitzt:

Definition: Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung

Sei eine standard-Cauchy-verteilte Zufallsvariable.
Sei die Dichte von .

Als Verteilungsfunktion von definieren wir:

Herleitung

Herleitung der Dichte

Sei eine Standard-Cauchy-verteilte Zufallsvariablen.

Dann gilt:

Die Dichte ergibt sich als ,

• wobei standardnormalverteilt.

Nach der Proposition über die Dichte der Division zweier Zufallsvariablen gilt:

Das Integral untersuch wir jetzt noch mal genauer. Wir sehen: egal ob wir einen negativen oder positiven Wert für einsetzen, das Ergebnis ist immer symmetrisch positiv. Daher gilt auch:

Jetzt integrieren wir noch und erhalten:

was zu zeigen war.