Definition - Chi-Quadrat-Anpassungstest

• Generalisierungen:
  • Asymptotischer Test
  • Beidseitiges Testproblem
• Involvierte Definitionen:
  • Chi-Quadrat-Verteilung
  • n-faches Produkt einer Verteilung
  • Produktmodell
  • Parameterraum
  • Beidseitiges Testproblem
  • Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
  • Diskrete Verteilung
  • Teststatistik
  • Absolute Häufigkeit
  • siehe auch Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023 (Satz 6.2.35)

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Definition: Chi-Quadrat-Anpassungstest

Ziel des Chi-Quadrat-Anpassungstests ist es, zu prüfen, ob die Daten einer gegebenen Stichprobe einer vermuteten Verteilung genügen.

Seien .
Sei ein statistisches Produktmodell mit Parameterraum

Sei die vermutete Verteilung und Trennung des beidseitigen Testproblems:

• ,
• .

Sei die Teststatistik mit

Als Chi-Quadrat-Anpassungstest mit asymptotischem Niveau bezeichnen wir:

wobei das -Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden bezeichnet.

Asymptotischer Test

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ist ein asymptotischer Test. Er erreicht sein Signifikanzniveau, wenn

Anmerkung

Wie ist das mit den zu interpretieren?

Nun, der Ausdruck

soll in diesem Fall bedeuten, dass eine Funktion ist, die jedem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Der Parameterraum ist dann wiederum die Menge dieser Funktionen , für die außerdem gilt, dass , dass die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sich also zu aufaddieren.

Wie ist die Teststatistik zu verstehen?

Nun, summiert nicht über oder so, sondern nimmt die Beobachtungen aus als Grundlage, um die absolute Häufigkeit des Ereignisses in eben der Realisierung zu berechnen.

Das Produktmodell als normales statistisches Modell

Wollten wir das statistische Produktmodell etwas ausschreiben und in die (eventuell) gewohntere Form bringen, so könnten wir auch schreiben:

Sei ein statistisches Modell mit

• ,
• ,
• .