Aufgabe - Verknüpfungen beschränkter Funktionen sind beschränkt

• Involvierte Definitionen:
  • Beschränktheit von Funktionen
  • Funktion
  • Verknüpfung von Funktionen
• Referenz: Mathegrundlagen

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Aufgabe: Auch die Verknüpfung beschränkter Funktionen ist beschränkt

Seien zwei beschränkte Funktionen. Sei .

Dann gilt:

1. ist beschränkt
2. ist beschränkt
3. ist beschränkt
4. ist beschränkt

Beweis

DANGER

Die Beweise im Skript sind besser

1. ist beschränkt

Sei durch nach oben und durch nach unten beschränkt. Sei durch nach oben und durch nach unten beschränkt.

Dann gilt

Mit Proposition 12.2.4 folgt

Weiter gilt:

Mit Proposition 12.2.4 folgt

ist also durch nach oben und durch nach unten beschränkt.

2. ist beschränkt

Sei durch nach oben und durch nach unten beschränkt. Sei durch nach oben und durch nach unten beschränkt.

Dann gilt

1. (obere Schranke von )
2. (untere Schranke von )

Mit Proposition 12.2.9 folgt für 2:

Mit Proposition 12.2.4 folgt

Weiter gilt:

1. (untere Schranke von )
2. (obere Schranke von )

Mit Proposition 12.2.9 folgt für 2:

Mit Proposition 12.2.4 folgt

ist also durch nach oben und durch nach unten beschränkt.

3. ist beschränkt

Sei durch nach oben und durch nach unten beschränkt.

Dann gilt (obere Schranke von )

Für gilt entweder oder . Ist , dann gilt mit Merkregel 12.2.11:

Ist , dann gilt mit Merkregel 12.2.11:

Weiter gilt: (untere Schranke von )

Für gilt entweder oder . Ist , dann gilt mit Merkregel 12.2.11:

Ist , dann gilt mit Merkregel 12.2.11:

Es folgt, dass beschränkt ist. Die Schranke ist abhängig davon, ob positiv oder negativ ist.

4. ist beschränkt

DANGER

Hier war ich faul, gut möglich, dass es in dem Beweis einen Fehler gibt.

Sei durch nach oben und durch nach unten beschränkt. Sei durch nach oben und durch nach unten beschränkt.

Dann gilt

Mit Proposition 12.2.12 folgt

Weiter gilt:

Mit Proposition 12.2.12 folgt

ist also durch nach oben und durch nach unten beschränkt.