Proposition - Ränge von Matrizen

• Bewiesen durch:
  • Invertierbarkeit von Matrixprodukten
  • Proposition - Invertierbarkeit von Elementarmatrizen
• Generalisierungen:
  • Korollar 9.3.3
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE2 - Der Rang einer Matrix

Proposition 4.5.5: Abschätzung von Rängen

Sei , Dann gilt:

1. Wenn invertierbar ist, so gilt
2. Wenn invertierbar ist, so gilt
3. Wenn mit und , so gilt

Beweis

Wenn invertierbar ist, so gilt

Sei invertierbar. Dann gilt: ist ein Produkt von Elementarmatrizen.

Sei die TNF zu , so gilt und . Sei die TNF zu , so gilt

Das heißt auch, dass

Sei , so ist eine Invertierbare Matrix, da und Produkte von Elementarmatrizen und daher invertierbar sind.

Dann gilt nach dem Satz 4.4.2, dass , weil

---

Wenn invertierbar ist, so gilt

Sei und . Das heißt: . Somit gilt:

und für gilt wiederum: , sei und

Das heißt:

Wenn wir zusammenführen und substituieren:

Diese Ungleichungskette kann nur gelten, wenn alle Abschätzungen Gleichungen sind.

Es gilt also:

---

Wenn mit und , so gilt

Sei

• die TNF zu mit Elementarmatrizen .

Es gilt und mit der ersten Eigenschaft der Proposition:

hat genau Zeilen, die keine Nullzeilen sind. Bspw:

Daraus folgt, dass das Produkt maximal Zeilen hat, die keine Nullzeilen sind.

Das folgt direkt aus der Definition der Matrizenmultiplikation, Visualisierung bspw. nach Falk-Schema:

Es gilt also: