Proposition - Invertierbarkeit von Matrixprodukten

• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE1 - Rechenregeln der Matrizenmultiplikation

Proposition: Invertierbarkeit von Matrixprodukten

Seien invertierbare Matrizen. So ist das Produkt

invertierbar durch den Ausdruck

Anmerkung

Auch Produkte mit invertierbaren Matrizen sind invertierbar.

Hier muss jedoch die Reihenfolge der Matrizen beachtet werden. In etwa so, wie die Aktion Einsteigen und Türen schließen von der Aktion Türen öffnen und Einsteigen invertiert wird.

Merke: Die Reihenfolge des Produktes ist umgekehrt zu der von . Das liegt daran, dass immer ein Teil von der linken Seite mit dem zugehörigen Teil der rechten Seite “kollidieren” muss, um sich gegenseitig aufzuheben:

Beweis

Zu zeigen:

Seien invertierbare Matrizen. So ist das Produkt

invertierbar durch den Ausdruck

Induktionsanfang Sei , so gilt und Da das inverse Element zu ist, gilt auch, dass das inverse Element zu ist.

Induktionsvoraussetzung Sei nun beliebig. Dann gelte und

Induktionsschritt Es ist zu zeigen, dass das inverse Element zu ist, wenn folgendes gilt: sodass

Aufgrund des Assoziativgesetzes können wir auch schreiben, dass

und

Wenn wir nun berechnen, gilt:

ö äö

was zu zeigen war

In anderen Worten: die Reihenfolge der beiden Produkte ist umgekehrt, weil immer ein Teil von der linken Seite mit dem zugehörigen Teil der rechten Seite “kollidieren” muss, um sich gegenseitig aufzuheben ⇒ und immer so weiter, bis nur noch die Einheitsmatrix übrigbleibt.