Proposition - Die Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssysteme

• Entspricht in der abstrakten linearen Algebra:
  • Kern einer linearen Abbildung
    • siehe Korollar 9.2.3
• Eigenschaften
  • Korollar - Kern(f) ist isomorph zu der Lösungsmenge des homogenen LGS
  • Merkregel - Berechnung der Lösungsmenge homogener LGS
• Charakterisierung:
  • Struktur der Lösungsmenge homogener LGS
• Referenz: } Mathematische Grundlagen KE2 - Struktur d. Lösungsmenge von LGS

Proposition: Die Lösungsmenge homogener Gleichungssysteme

Sei

• eine TNF
• mit ausgezeichneten Indizes

Die Lösungsmenge von ist

üü

Beweis

Der Beweis ist wieder eine Äquivalenz, wir teilen ihn also in zwei Teile

Beweis: Jedes Element von ist eine Lösung des LGS

Sei , wobei mit üü.

Es ist zu zeigen, dass .

Wir berechnen also .

Beweis: Jede Lösung des LGS ist ein Element von

Sei eine beliebige Lösung des LGS .

Es gilt also:

Das heißt,

Dann ist die Spalte entweder

• eine Spalte mit Pivot-Positionen (also )
• eine Spalte ohne Pivot-Positionen (also )

Gilt so sind alle Einträge

HINT

Bei dem ersten Fall wird der Wert von mit multipliziert und kann daher beliebig () gewählt werden

Also gilt:

Da der ganze Term Null werden soll, muss gelten:

Generell gilt für also:

üü

und das ist wiederum genau die Definition von