Theorem - Cauchy'sches Konvergenzprinzip für Funktionen

• Involvierte Definitionen:
  • Funktion
  • Häufungspunkt
  • Grenzwert einer Funktion
  • Konvergenz einer Funktion
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Cauchy'sches Konvergenzprinzip für Funktionen

Sei eine Funktion.
Sei ein Häufungspunkt von .

Dann gilt:

Der Grenzwert existiert

Beweis

Teil 1:

Wir nehmen zunächst an, dass der Grenzwert existiert. Sei . Sei .

Dann gibt es mit dem Theorem - Epsilon-Delta-Kriterium für den Grenzwert ein , sodass

Dann gilt ja aber auch für mit

Mit Proposition 12.2.21 folgt:

Teil 2:

Wir nehmen nun an, dass

Wir müssen zeigen, dass der Grenzwert existiert.

Sei hierzu eine Folge mit und . Seien so, dass Gleichung erfüllt ist.

Da gegen konvergiert, gibt es mit Definition 13.1.8 ein , sodass .

Für alle gilt damit die Implikation in Gleichung :

Mit Definition 13.5.14 folgt, dass eine Cauchyfolge ist. Mit Satz 13.5.16 folgt, dass konvergent ist.

Definition 15.3.4 ist insbesondere erfüllt, denn .

Es folgt, dass existiert.