Definition - L-glatt

• Konstrukte/Folgerungen:
  • Gradientenabstiegsverfahren konvergiert für L-glatte und konvexe Funktionen Funktionen
• Generalisierungen:
  • L-Lipschitz-stetigkeit
• Eigenschaften:
  • Es gibt diverse Ungleichungen, die gelten, wenn -glatt ist. Da ich deren Interpretation bisher aber schwierig finde, habe ich sie erstmal übersprungen.
• Hinreichende Bedingungen:
  • Mit dem MWS (Siehe Aufzeichnungen vom 10.11.23 zu MatheDS)
    • Oder mit dem Hauptsatz der Integralrechnung.
  • Funktion ist L-glatt gdw. ihre Hessematrix beschränkt ist
• Involvierte Definitionen:
  • Totale Differenzierbarkeit
  • Gradient
  • Euklidische Norm
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz: @riedel2023

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Definition: L-glatt

Sei eine total differenzierbare Funktion.
Sei .

Wir bezeichnen als -glatt, wenn der Gradient -Lipschitz-stetig ist. Wenn also

Anmerkung

-glatt und -konvex

Ist

• zweimal total differenzierbar,
• -glatt und
• -stark konvex

dann gilt .