Beispiel - Die konvergente Summenbruch-Folge

• Bewiesen durch:
  • Korollar 13.5.3
  • Proposition 12.2.13
• Involvierte Definitionen:
  • Konvergenz
  • Monotone Folge
  • beschränkte Folge
• Referenz: Mathegrundlagen

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Beispiel: Die konvergente Summenbruch-Folge

Die Folge ist

• monoton wachsend und
• beschränkt.

Es folgt, dass sie konvergiert. Der Grenzwert ist .

Anmerkung

Den Grenzwert könnte ich irgendwann mal beweisen.

Beweis der Konvergenz

1. ist monoton wachsend.

Nach Definition 13.5.1 1.) ist es ausreichend, zu zeigen, dass .

Da ist mit Proposition 12.2.13 auch . Es gilt

Also . Es folgt, dass monoton wachsend ist.

2. ist beschränkt.

Z.z. die Menge ist beschränkt, bzw. ist nach oben beschränkt.

Für alle gilt:

Es gilt also: . Nach Definition 12.2.42 2.) ist damit nach oben beschränkt. Es folgt, dass beschränkt ist, was zu zeigen war.

3. Schluss

Mit Korollar 13.5.3 folgt, dass konvergiert.