Beispiel - Bestimmen eines Neyman-Pearson-Tests im Gaußschen Produktmodell

• Involvierte Definitionen:
  • Neyman-Pearson-Test
  • Gaußsches Produktmodell
  • Normalverteilung
  • Likelihood-Quotient
  • iid
• Veranstaltung: MatheDS
• Referenz:
  • Statistik mit Lennart
  • @riedel2023 (Einsendeaufgaben EA6-3)

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Beispiel: Bestimmen eines Neyman-Pearson-Tests im Gaußschen Produktmodell

Sei eine normalverteilte (iid) Stichprobe vom Umfang mit Mittelwert und Varianz gegeben.

Wir sollen einen Neyman-Pearson-Test zum Signifikanzniveau konstruieren für das Testproblem:

• ,

Im Folgenden kurz die notwendigen Schritte:

• Likelihood-Funktion des Models bestimmen,
• Likelihood-Quotienten bestimmen,
• Güte setzen.

Vorgehen

Likelihood-Funktion des Models bestimmen

Da die unabhängig sind, erhalten wir die Dichte und damit die Likelihood-Funktion von durch:

Likelihood-Quotienten bestimmen

Jetzt, wo wir die Likelihood-Funktion haben, können wir uns daran machen, den Likelihood-Quotienten zu bestimmen.

Ist , so gilt:

Nach der Definition des Neyman-Pearson-Tests erhalten wir einen solchen nun durch:

Es bleiben also noch und als offene Parameter. Nach dem Neyman-Pearson-Lemma wollen wir diese beiden nun so bestimmen, dass

Güte gleich setzen.

Erstmal müssen wir verstehen, wie die Güte unseres Tests überhaupt aussieht. Per definitionem gilt ja:

aber was heißt das jetzt? Nun, hat drei Realisierungen und der Erwartungswert summiert wie gewohnt darüber:

Aufwendiges Umstellen

Wir untersuchen jetzt mal genauer. Es gilt:

Da mehrdimensional Normalverteilt ist, sind auch alle normalverteilt mit demselben Mittelwert und derselben Standardabweichung. Daher gilt auch . Normalisieren wir jetzt noch weiter, so gilt:

Das machen wir uns jetzt zunutze. Es gilt also:

Ausnutzen der erreichten Standardnormalverteilung

Puh. Das war gar nicht so einfach - hilft uns jetzt aber wirklich weiter. Wir wollten ja wissen, was ist, damit wir das bestimmen können. Wir haben jetzt:

Und da , ist das äquivalent zu

Wir erinnern uns wieder, dass wir ja eigentlich nur setzen wollten. Jetzt haben wir die Chance! Denn wir wissen:

Mit der inversen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gilt:

Für und damit erhalten wir also:

Und damit sind wir fertig.