Theorem: Lösbarkeit von LGS
Seien , ein LGS und die erweiterte Koeffizientenmatrix dieses LGS.
Dann gilt:
- hat Lösung
- hat Lösungen
- hat Lösung
Beweis
Für genau eine Lösung
Sei die Lösungsmenge von .
Sei , dann gilt aufgrund der Proposition 5.2.1, dass . Die Anzahl der Lösungen ist also abhängig von der Anzahl Lösungen des homogenen LGS.
Das homogene LGS hat mindestens eine Lösung: .
Sei nun die einzige Lösung, also , dann ist dies äquivalent dazu, dass auch nur eine Lösung hat: .
Wir wissen, dass Die Lösungsmenge homogener linearer Gleichungssysteme wie folgt aussieht:
üü
Wenn jedoch alle Spalten von eine Pivot-Position haben, so gibt es gar keine mit .
Das heißt: die Summe ist leer und damit .
Und auch die Menge ist leer.
für alle mit
Für Lösungen
Da eine Äquivalenz zu zeigen ist, teilen wir den Beweis in zwei Schritte auf:
Hat mindestens eine Lösung, dann gilt
Sei eine Lösung für .
Sei die TNF von .
Sei das Produkt von Elementarmatrizen, sodass .
Dann haben und dieselbe Lösungsmenge und es gilt
und
Sei
Sei mit .
Es gibt nun zwei mögliche Fälle:
Da , unterscheidet sich nur in einer Spalte von und zwar in der letzten.
Für den Eintrag an der Stelle muss also gelten:
Da gilt aber für alle Einträge der -ten Spalte von , dass sie Null sind.
Daher kann es kein geben, sodass und es folgt die Behauptung.
Gilt dann hat mindestens eine Lösung
Es gelte .
Sei die TNF von .
Sei das Produkt von Elementarmatrizen, sodass .
Wir nennen die erweiterte Koeffizientenmatrix der TNF von , also
Aufgrund der Invarianz bzgl. zeilenäquivalenter koeff. Matrizen haben und dieselbe Lösungsmenge .
Das heißt, es ist zu zeigen, dass es eine Lösung gibt mit
Da und denselben Rang haben, gilt auch, dass und denselben Rang haben.
Sei , dann hat Nullzeilen, die alle unter der letzten Pivot-Zeile liegen. Für gilt dasselbe.
Wir betrachten also alle Zeilen, die oberhalb von liegen.
Für jeden dieser Einträge von gilt entweder
Wir können nun explizit eine Lösung bestimmen.
Sei .
Dann definieren wir wie folgt:
So gilt
Das heißt, ist eine Lösung für und somit auch für .
Für Lösung
Wo ist der Beweis?