Algorithmus - Laplace'scher Entwicklungssatz

• Involvierte Definitionen:
  • Determinante einer Matrix
  • Quadratische Matrix
  • Kofaktor
  • Untermatrix
• Veranstaltung: AlMa, MatheDS
• Referenz: @herzogWiSe22

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Algorithmus: Laplace'scher Entwicklungssatz (nach Spalte)

Sei eine quadratische Matrix.

Wir erhalten , indem wir eine beliebige Spalte wählen und die folgende Summe der Kofaktoren bilden:

Wobei eine Untermatrix von ist.

Algorithmus: Laplace'scher Entwicklungssatz (nach Zeile)

Sei eine quadratische Matrix.

Wir erhalten , indem wir eine beliebige Zeile wählen und die folgende Summe der Kofaktoren bilden:

Wobei eine Untermatrix von ist.

Verstehen der Definition

Um diese Definition zu verstehen, muss man sich unbedingt die Definition des Kofaktors und der Untermatrix ansehen!

Anmerkung

Für große

Für große kann die Berechnung per Gaußalgorithmus schneller sein. Insbesondere, wenn die zugrundeliegende Matrix wenige bis gar keine Nullen enthält.

Taktische Wahl der Zeile/Spalte

Der Laplace’sche Entwicklungssatz ist besonders dann effizient, wenn wir eine Zeile oder Spalte mit besonders vielen Nullen finden können.

Das liegt daran, dass wir die Determinanten dieser Nullelemente überhaupt nicht berechnen müssen, denn ist in dem Fall ja bereits .