Theorem - Identitätssatz für Polynomfunktionen

• Bewiesen durch:
  • Korollar 14.2.9
• Involvierte Definitionen:
  • Polynomfunktion
  • Polynom
  • Grad
• Referenz: Mathegrundlagen

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Theorem: Identitätssatz für Polynomfunktionen

Seien und in . Seien die zugehörigen Polynomfunktionen.

Sei und .

Ist nun für unterschiedliche , dann gilt:

Beweis

Wir führen den Beweis durch Widerspruch.

1. Teil, und normieren

O.b.d.A. nehmen wir an, dass . Damit folgt auch . Für gilt:

Mit dieser Schreibweise können wir die Verknüpfungen von Funktionen wie gewohnt anwenden.

2. Teil, für unterschiedliche

Sei . Damit gilt auch .

Seien reelle Zahlen, sodass

Damit gilt auch, dass Nullstellen von sind - schließlich gilt . Demnach hat also Nullstellen.

Das ist ein Widerspruch, denn durch Korollar 14.2.9 gilt, dass ein Polynom mit Grad höchstens verschiedene Nullstellen besitzen kann. Es gilt , aber hat Nullstellen.

Es folgt, dass sein muss, also . ist also das Nullpolynom.

Da gilt für alle Koeffizienten von und

und damit auch